MATEMÁTICAS II.

 

 

Objetivos de Matemáticas II.

 

ØAnálisis:

 

1.      Saber aplicar los conceptos de límite de una función en un punto (tanto finito como infinito) y de límites laterales para estudiar la continuidad de una función y la existencia de asíntotas verticales.

2.      Saber aplicar el concepto de límite de una función en el infinito para estudiar la existencia de asíntotas horizontales y oblicuas.

3.      Conocer las propiedades algebraicas del cálculo de límites, los tipos de indeterminación siguientes: infinito dividido por infinito, cero dividido por cero, cero por infinito, infinito menos infinito (se excluyen los de la forma uno elevado a infinito, infinito elevado a cero, cero elevado a cero) y técnicas para resolverlas.

4.      Saber determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de una función en un punto.

5.      Saber distinguir entre función derivada y derivada de una función en un punto. Saber hallar el dominio de derivabilidad de una función.

6.      Conocer la relación que existe entre la continuidad y la derivabilidad de una función en un punto.

7.      Saber determinar las propiedades locales de crecimiento o de decrecimiento de una función derivable en un punto y los intervalos de monotonía de una función derivable.

8.      Saber determinar la derivabilidad de funciones definidas a trozos.

9.      Conocer y saber aplicar el teorema de derivación para funciones compuestas (la regla de la cadena) y su aplicación al cálculo de las derivadas de funciones con no más de dos composiciones y de las derivadas de las funciones trigonométricas inversas.

10.  Conocer la regla de L'Hôpital y saber aplicarla al cálculo de límites para resolver indeterminaciones.

11.  Saber reconocer si los puntos críticos de una función (puntos con derivada nula) son extremos locales o puntos de inflexión.

12.  Saber aplicar la teoría de funciones continuas y de funciones derivables para resolver problemas de extremos.

13.  Saber representar de forma aproximada la gráfica de una función de la forma y=f(x) indicando: dominio, simetrías, periodicidad, cortes con los ejes, asíntotas, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, extremos locales, intervalos de concavidad (f''(x)<0) y de convexidad (f''(x)>0) y puntos de inflexión.

14.  Partiendo de la representación gráfica de una función o de su derivada, ser capaz de obtener información de la propia función (límites, límites laterales, continuidad, asíntotas, derivabilidad, crecimiento y decrecimiento, etc.).

15.  Dadas dos funciones, mediante sus expresiones analíticas o mediante sus representaciones gráficas, saber reconocer si una es primitiva de la otra.

16.  Saber la relación que existe entre dos primitivas de una misma función.

17.  Dada una familia de primitivas, saber determinar una que pase por un punto dado.

18.  Saber calcular integrales indefinidas de funciones racionales en las que las raíces del denominador son reales.

19.  Conocer el método de integración por partes y saber aplicarlo reiteradamente.

20.  Conocer la técnica de integración por cambio de variable, tanto en el cálculo de primitivas como en el cálculo de integrales definidas.

21.  Conocer la propiedad de linealidad de la integral definida con respecto al integrando y conocer la propiedad de aditividad con respecto al intervalo de integración.

22.  Conocer las propiedades de monotonía de la integral definida con respecto al integrando.

23.  Conocer la interpretación geométrica de la integral definida de una función (el área como límite de sumas superiores e inferiores).

24.  Conocer la noción de función integral (o función área) y saber el teorema fundamental del cálculo y la regla de Barrow.

25.  Saber calcular el área de recintos planos limitados por curvas.

 

ØÁlgebra lineal:

 

1.      Conocer y adquirir destreza en las operaciones con matrices: suma, producto por un escalar, transposición, producto de matrices, y saber cuándo pueden realizarse y cuándo no. Conocer la no conmutatividad del producto.

2.      Conocer la matriz identidad I y la definición de matriz inversa. Saber cuándo una matriz tiene inversa y, en su caso, calcularla (hasta matrices de orden 3x3).

3.      Saber calcular los determinantes de orden 2 y de orden 3.

4.      Conocer las propiedades de los determinantes y saber aplicarlas al cálculo de éstos.

5.      Conocer que tres vectores en un espacio de dimensión tres son linealmente dependientes si y sólo si el determinante es cero.

6.      Saber calcular el rango de una matriz.

7.      Resolver problemas que pueden plantearse mediante un sistema de ecuaciones.

8.      Saber expresar un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial y conocer el concepto de matriz ampliada del mismo.

9.      Conocer lo que son sistemas compatibles (determinados e indeterminados) e incompatibles.

10.  Saber clasificar (como compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible) un sistema de ecuaciones lineales con no más de tres incógnitas y que dependa, como mucho, de un parámetro y, en su caso, resolverlo.

 

ØGeometría:

 

1.      Conocer y adquirir destreza en las operaciones con vectores en el plano y en el espacio.

2.      Dado un conjunto de vectores, saber determinar si son linealmente independientes o linealmente dependientes.

3.      Saber calcular e identificar las expresiones de una recta o de un plano mediante ecuaciones paramétricas y ecuaciones implícitas y pasar de una expresión a otra.

4.      Saber determinar un punto, una recta o un plano a partir de propiedades que los definan (por ejemplo: el punto simétrico de otro con respecto a un tercero, la recta que pasa por dos puntos o el plano que contiene a tres puntos o a un punto y una recta, etc.).

5.      Saber plantear, interpretar y resolver los problemas de incidencia y paralelismo entre rectas y planos como sistemas de ecuaciones lineales.

6.      Conocer y saber aplicar la noción de haz de planos que contienen a una recta.

7.      Conocer las propiedades del producto escalar, su interpretación geométrica y la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

8.      Saber plantear y resolver razonadamente problemas métricos, angulares y de perpendicularidad (por ejemplo: distancias entre puntos, rectas y planos, simetrías axiales, ángulos entre rectas y planos, vectores normales a un plano, perpendicular común a dos rectas, etc.).

9.      Conocer el producto vectorial de dos vectores y saber aplicarlo para determinar un vector perpendicular a otros dos, y para calcular áreas de triángulos y paralelogramos.

10.  Conocer el producto mixto de tres vectores y saber aplicarlo para calcular el volumen de un tetraedro y de un paralelepípedo.

 

 

 

ØEstadística y probabilidad

 

1.      Conocer la terminología básica del Cálculo de Probabilidades.

2.      Construir el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio simple. Describir sucesos y efectuar operaciones con ellos.

3.      Asignar probabilidades a sucesos aleatorios simples y compuestos, dependientes o independientes, utilizando técnicas personales de recuento, diagramas de árbol o tablas de contingencia.

4.      Calcular probabilidades de sucesos utilizando las propiedades básicas de la probabilidad, entre ellas la regla de Laplace para sucesos equiprobables.

5.      Construir el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, dado un suceso condicionante. Calcular probabilidades condicionadas.

6.      Determinar si dos sucesos son independientes o no.

7.      Calcular probabilidades para experimentos compuestos. Calcular   la probabilidad de la realización simultánea de dos o tres sucesos dependientes o independientes.

8.      Conocer y aplicar el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes, utilizando adecuadamente   los conceptos de probabilidades a   priori y a posteriori.

 

Ø  Inferencia estadística

 

1.      Conocer el vocabulario básico de la Inferencia Estadística: población, individuos, muestra, tamaño de la población, tamaño de la muestra, muestreo aleatorio.

2.      Conocer algunos tipos de muestreo aleatorio: muestreo aleatorio simple y muestreo aleatorio estratificado.

3.      Conocer empíricamente la diferencia entre los valores de algunos parámetros estadísticos de la población y de las muestras (proporción, media).

4.      Conocer la distribución en el muestreo de la media aritmética de las muestras de una población de la que se sabe que sigue una ley Normal.

5.      Aplicar el resultado anterior al cálculo de probabilidades de la media muestral, para el caso de poblaciones normales con media y varianza conocidas.

6.      Conocer cómo se distribuye, de manera aproximada, la proporción muestral para el caso de muestras de tamaño grande (no inferior a 100).

7.      Conocer el concepto de intervalo de confianza.

8.      A la vista de una situación real de carácter económico o social, modelizada por medio de una distribución Normal (con varianza conocida) o Binomial, el alumno debe saber:

9.      Determinar un intervalo de confianza para la proporción en una población, a partir de una muestra aleatoria grande.

10.  Determinar un intervalo de confianza para la media de una población normal con varianza conocida, a partir de una muestra aleatoria.

11.  Determinar el tamaño muestral mínimo necesario para acotar el error cometido al estimar, por un intervalo de confianza, la proporción poblacional para cualquier valor dado del nivel de confianza.

12.  Determinar el tamaño muestral mínimo necesario para acotar el error cometido al estimar, por un intervalo de confianza, la media de una población normal, con varianza conocida, para cualquier valor dado del nivel de confianza.

13.  Conocer el Teorema  Central del límite y aplicarlo  para hallar  la distribución de la media muestral de una muestra de gran tamaño, siempre que se conozca la desviación típica de la distribución de la variable aleatoria de la que procede la muestra.

14.  Conocer el concepto de contraste de hipótesis y de nivel de significación de un contraste.

15.  A la vista de una situación real de carácter económico o social, modelizada por medio de una distribución Normal (con varianza conocida) o Binomial, el alumno debe saber:

a)      Determinar las regiones de aceptación y de rechazo de la hipótesis nula en un contraste de hipótesis, unilateral o bilateral, sobre el valor de una proporción y decidir, a partir  de una muestra aleatoria adecuada, si se rechaza o se acepta la hipótesis nula a un  nivel de significación dado.

b)      Determinar las regiones de aceptación y de rechazo de la hipótesis nula en un contraste de hipótesis, unilateral o bilateral, sobre la media de una distribución normal con varianza conocida,  y decidir, a partir  de una muestra aleatoria adecuada, si se rechaza o se acepta la hipótesis nula a un  nivel de significación dado.

 

 

CONTENIDOS, CRITERIOS DE EVALUACIÓN, COMPETENCIAS CLAVE Y ESTÁNDARES DE APRENDIZAJES EVALUABLES

 

BLOQUE I : Procesos, métodos y actitudes en Matemáticas

 

Objetivos

 

1.      Planificación del proceso de resolución de problemas.

2.      Estrategias y procedimientos puestos en práctica: relación con otros problemas conocidos, modificación de variables, suponer el problema resuelto.

3.      Soluciones y/o resultados obtenidos: coherencia de las soluciones con la situación, revisión sistemática del proceso, otras formas de resolución, problemas parecidos, generalizaciones y particularizaciones interesantes.

4.      Iniciación a la demostración en Matemáticas: métodos, razonamientos, lenguajes, etc.

5.      Métodos de demostración: reducción al absurdo, método de inducción, contraejemplos, razonamientos encadenados, etc.

6.      Razonamiento deductivo e inductivo. Lenguaje gráfico, algebraico, otras formas de representación de argumentos.

7.      Elaboración y presentación oral y/o escrita de informes científicos sobre el proceso seguido en la resolución de un problema o en la demostración de un resultado matemático.

8.      Realización de investigaciones matemáticas a partir de contextos de la realidad o contextos del mundo de las Matemáticas.

9.      Elaboración y presentación de un informe científico sobre el proceso, resultados y conclusiones del proceso de investigación desarrollado.

10.  Práctica de los procesos de matematización y modelización, en contextos de la realidad y en contextos matemáticos. Confianza en las propias capacidades para desarrollar actitudes adecuadas y afrontar las dificultades propias del trabajo científico.

11.  Utilización de medios tecnológicos en el proceso de aprendizaje para:

a)      La recogida ordenada y la organización de datos;

b)      Elaboración y creación de representaciones gráficas de datos numéricos, funcionales o estadísticos;

c)      Facilitar la comprensión de propiedades geométricas o funcionales y la realización de cálculos de tipo numérico, algebraico o estadístico;

d)     El diseño de simulaciones y la elaboración de predicciones sobre situaciones matemáticas diversas;

e)      La elaboración de informes y documentos sobre los procesos llevados a cabo y los resultados y conclusiones obtenidos;

f)       Comunicar y compartir, en entornos apropiados, la información y las ideas matemáticas.

 

Criterios de evaluación

 

1.      Expresar oralmente y por escrito, de forma razonada, el proceso seguido para resolver un problema. CCL, CMCT.

2.      Utilizar procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas, realizando los cálculos necesarios y comprobando las soluciones obtenidas. CMCT, CAA.

3.      Realizar demostraciones sencillas de propiedades o teoremas relativos a contenidos algebraicos, geométricos, funcionales, estadísticos y probabilísticos. CMCT, CAA.

4.      Elaborar un informe científico escrito que sirva para comunicar las ideas matemáticas surgidas en la resolución de un problema o en una demostración, con el rigor y la precisión adecuados. CCL, CMCT, SIEP.

5.      Planificar adecuadamente el proceso de investigación, teniendo en cuenta el contexto en que se desarrolla y el problema de investigación planteado. CMCT, CAA, SIEP.

6.      Practicar estrategias para la generación de investigaciones matemáticas, a partir de:

a)      Resolución de un problema y la profundización posterior;

b)      Generalización de propiedades y leyes matemáticas;

c)      Profundización en algún momento de la historia de las Matemáticas; concretando todo ello en contextos numéricos, algebraicos, geométricos, funcionales, estadísticos o probabilísticos. CMCT, CAA, CSC.

7.      Elaborar un informe científico escrito que recoja el proceso de investigación realizado, con el rigor y la precisión adecuados. CMCT, CAA, SIEP.

8.      Desarrollar procesos de matematización en contextos de la realidad cotidiana (numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos o probabilísticos) a partir de la identificación de problemas en situaciones reales. CMCT, CAA, CSC, SIEP.

9.      Valorar la modelización matemática como un recurso para resolver problemas de la realidad cotidiana, evaluando la eficacia y las limitaciones de los modelos utilizados o construidos. CMCT, CAA.

10.  Desarrollar y cultivar las actitudes personales inherentes al quehacer matemático. CMCT, CAA.

11.  Superar bloqueos e inseguridades ante la resolución de situaciones desconocidas. CMCT, CAA, SIEP.

12.  Reflexionar sobre las decisiones tomadas, valorando su eficacia y aprendiendo de ellas para situaciones similares futuras. CMCT, CAA.

13.  Emplear las herramientas tecnológicas adecuadas, de forma autónoma, realizando cálculos numéricos, algebraicos o estadísticos, haciendo representaciones gráficas, recreando situaciones matemáticas mediante simulaciones o analizando con sentido crítico situaciones diversas que ayuden a la comprensión de conceptos matemáticos o a la resolución de problemas. CMCT, CD, CAA.

14.  Utilizar las tecnologías de la información y la comunicación de modo habitual en el proceso de aprendizaje, buscando, analizando y seleccionando información relevante en Internet o en otras fuentes, elaborando documentos propios, haciendo exposiciones y argumentaciones de los mismos y compartiendo éstos en entornos apropiados para facilitar la interacción. CCL, CMCT, CD, CAA.

 

Estándares de aprendizaje evaluables

 

1.1. Expresa verbalmente de forma razonada, el proceso seguido en la resolución de un problema, con el rigor y la precisión adecuados.

 2.1. Analiza y comprende el enunciado a resolver o demostrar (datos, relaciones entre los datos, condiciones, hipótesis, conocimientos matemáticos necesarios, etc.).

2.2. Valora la información de un enunciado y la relaciona con el número de soluciones del problema.

2.3. Realiza estimaciones y elabora conjeturas sobre los resultados de los problemas a resolver, valorando su utilidad y eficacia.

2.4. Utiliza estrategias heurísticas y procesos de razonamiento en la resolución de problemas.

2.5. Reflexiona sobre el proceso de resolución de problemas.

3.1. Utiliza diferentes métodos de demostración en función del contexto matemático. 3.2. Reflexiona sobre el proceso de demostración (estructura, método, lenguaje y símbolos, pasos clave, etc.).

4.1. Usa el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto y a la situación.

4.2. Utiliza argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos explícitos y coherentes.

4.3. Emplea las herramientas tecnológicas adecuadas al tipo de problema, situación a resolver o propiedad o teorema a demostrar, tanto en la búsqueda de resultados como para la mejora de la eficacia en la comunicación de las ideas matemáticas.

5.1. Conoce la estructura del proceso de elaboración de una investigación matemática: problema de investigación, estado de la cuestión, objetivos, hipótesis, metodología, resultados, conclusiones, etc.

5.2. Planifica adecuadamente el proceso de investigación, teniendo en cuenta el contexto en que se desarrolla y el problema de investigación planteado.

5.3. Profundiza en la resolución de algunos problemas, planteando nuevas preguntas, generalizando la situación o los resultados, etc.

6.1. Generaliza y demuestra propiedades de contextos matemáticos numéricos, algebraicos, geométricos, funcionales, estadísticos o probabilísticos.

6.2. Busca conexiones entre contextos de la realidad y del mundo de las matemáticas (la historia de la humanidad y la historia de las matemáticas; arte y matemáticas; tecnologías y matemáticas, ciencias experimentales y matemáticas, economía y matemáticas, etc.) y entre contextos matemáticos (numéricos y geométricos, geométricos y funcionales, geométricos y probabilísticos, discretos y continuos, finitos e infinitos, etc.).

7.1. Consulta las fuentes de información adecuadas al problema de investigación. 7.2. Usa el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto del problema de investigación.

7.3. Utiliza argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos explícitos y coherentes.

7.4. Emplea las herramientas tecnológicas adecuadas al tipo de problema de investigación.

7.5. Transmite certeza y seguridad en la comunicación de las ideas, así como dominio del tema de investigación.

7.6. Reflexiona sobre el proceso de investigación y elabora conclusiones sobre el nivel de:

·         Resolución del problema de investigación;

·         Consecución de objetivos.

Así mismo, plantea posibles continuaciones de la investigación; analiza los puntos fuertes y débiles del proceso y hace explícitas sus impresiones personales sobre la experiencia.

 8.1. Identifica situaciones problemáticas de la realidad, susceptibles de contener problemas de interés.

8.2. Establece conexiones entre el problema del mundo real y el mundo matemático: identificando el problema o problemas matemáticos que subyacen en él, así como los conocimientos matemáticos necesarios.

8.3. Usa, elabora o construye modelos matemáticos adecuados que permitan la resolución del problema o problemas dentro del campo de las matemáticas.

8.4. Interpreta la solución matemática del problema en el contexto de la realidad.

8.5. Realiza simulaciones y predicciones, en el contexto real, para valorar la adecuación y las limitaciones de los modelos, proponiendo mejoras que aumenten su eficacia.

9.1. Reflexiona sobre el proceso y obtiene conclusiones sobre los logros conseguidos, resultados mejorables, impresiones personales del proceso, etc.

10.1. Desarrolla actitudes adecuadas para el trabajo en matemáticas: esfuerzo, perseverancia, flexibilidad para la aceptación de la crítica razonada, convivencia con la incertidumbre, tolerancia de la frustración, autoanálisis continuo, autocrítica constante, etc.

10.2. Se plantea la resolución de retos y problemas con la precisión, esmero e interés adecuados al nivel educativo y a la dificultad de la situación.

10.3. Desarrolla actitudes de curiosidad e indagación, junto con hábitos de plantear/se preguntas y buscar respuestas adecuadas; revisar de forma crítica los resultados encontrados; etc.

11.1. Toma decisiones en los procesos de resolución de problemas, de investigación y de matematización o de modelización valorando las consecuencias de las mismas y la conveniencia por su sencillez y utilidad.

12.1. Reflexiona sobre los procesos desarrollados, tomando conciencia de sus estructuras; valorando la potencia, sencillez y belleza de los métodos e ideas utilizados; aprendiendo de ello para situaciones futuras; etc.

13.1. Selecciona herramientas tecnológicas adecuadas y las utiliza para la realización de cálculos numéricos, algebraicos o estadísticos cuando la dificultad de los mismos impide o no aconseja hacerlos manualmente.

13.2. Utiliza medios tecnológicos para hacer representaciones gráficas de funciones con expresiones algebraicas complejas y extraer información cualitativa y cuantitativa sobre ellas.

13.3. Diseña representaciones gráficas para explicar el proceso seguido en la solución de problemas, mediante la utilización de medios tecnológicos.

13.4. Recrea entornos y objetos geométricos con herramientas tecnológicas interactivas para mostrar, analizar y comprender propiedades geométricas.

14.1. Elabora documentos digitales propios (texto, presentación, imagen, video, sonido,…), como resultado del proceso de búsqueda, análisis y selección de información relevante, con la herramienta tecnológica adecuada y los comparte para su discusión o difusión.

14.2. Utiliza los recursos creados para apoyar la exposición oral de los contenidos trabajados en el aula.

14.3. Usa adecuadamente los medios tecnológicos para estructurar y mejorar su proceso de aprendizaje recogiendo la información de las actividades, analizando puntos fuertes y débiles de su proceso académico y estableciendo pautas de mejora.

 

BLOQUE II: Análisis

 

vUNIDAD 1. Límites y Continuidad de funciones

 

Objetivos

 

·        Comprender el concepto de límite de una función en un punto.

·        Comprender el concepto de límite en el infinito.

·        Calcular límites elementales y resolver indeterminaciones.

·        Determinar las ramas infinitas y las asíntotas de una función.

·        Interpretar los límites finitos e infinitos en la representación gráfica de funciones.

·        Comprender el concepto de función continua en un punto.

·        Interpretar y clasificar las discontinuidades  de una función dada mediante una gráfica o de forma analítica.

·        Estudiar la continuidad de funciones dadas haciendo uso de la continuidad de las funciones elementales y de las operaciones con funciones continuas.

·        Valorar la gran utilidad que tiene la representación gráfica de una función en el estudio de la continuidad.

 

Contenidos

 

§  Límite de una función. Funciones convergentes

§   Límite de una función en un punto y en el infinito.

§  Asíntotas y ramas infinitas de una función

§  Operaciones con límites de funciones

§  Cálculo de límites sencillos

§  Resolución de indeterminaciones

§  Funciones continuas

§  Continuidad de las funciones.

§  Discontinuidad de una función. Tipos

§  Teorema de Bolzano.

 

Criterios de evaluación

 

1. Estudiar la continuidad de una función en un punto o en un intervalo, aplicando los resultados que se derivan de ello y discutir el tipo de discontinuidad de una función. CMCT.

 

Estándares de aprendizaje evaluables

 

1.1. Conoce las propiedades de las funciones continuas, y representa la función en un entorno de los puntos de discontinuidad.

1.2. Aplica los conceptos de límite y de derivada, así como los teoremas relacionados, a la resolución de problemas.

 

 

vUNIDAD 2. Derivadas.

 

Objetivos

 

·        Comprender el concepto de derivada de una función en un punto así como su significado geométrico.

·        Saber estudiar la derivabilidad de una función en un punto, haciendo uso de las derivadas laterales.

·        Saber encontrar, haciendo uso de la definición, la función derivada de la función dada.

·        Utilizar las operaciones con funciones derivadas y las reglas de derivación en el cálculo de derivadas de funciones dadas.

 

Contenidos

 

§  Derivada de una función en un punto

§  Interpretación geométrica de la derivada

§  Derivadas laterales

§  Función derivada. Derivadas sucesivas

§  Derivabilidad

§  Derivadas de las funciones elementales y compuestas

§  Derivación logarítmica

• Teoremas de Rolle y del valor medio.

 

Criterios de evaluación

 

1. Aplicar el concepto de derivada de una función en un punto, su interpretación geométrica y el

cálculo de derivadas al estudio de fenómenos naturales, sociales o tecnológicos y a la resolución de problemas geométricos, de cálculo de límites y de optimización. CMCT, CD, CAA, CSC.

 

Estándares de aprendizaje evaluables

 

1.1. Conoce las propiedades de las funciones continuas, y representa la función en un entorno de los puntos de discontinuidad.

1.2. Aplica los conceptos de límite y de derivada, así como los teoremas relacionados, a la resolución de problemas.

 

 

vUNIDAD  3. Aplicaciones de las derivadas

 

Objetivos

 

·         Determinar las ecuaciones de la recta tangente y normal a una función en un punto.

·         Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, concavidad y convexidad de una función.

·         Hallar los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión de una función dada.

·         Saber optimizar funciones.

·         Valorar la utilidad de las derivadas en la resolución de problemas de la vida real y en el cálculo de límites.

 

Contenidos

 

• La regla de L’Hôpital.
• Aplicación al cálculo de límites.

§  Ecuaciones de las recta tangente y normal a una función en un punto

§  Crecimiento y decrecimiento de una función

§  Determinación de extremos relativos

§  Curvatura de una función

§  Puntos de inflexión

§  Optimización de funciones

 

Criterios de evaluación

 

1. Aplicar el concepto de derivada de una función en un punto, su interpretación geométrica y el cálculo de derivadas al estudio de fenómenos naturales, sociales o tecnológicos y a la resolución de problemas geométricos, de cálculo de límites y de optimización.

 

 

 

Estándares de aprendizaje evaluables

 

1.1 Aplica la regla de L’Hôpital para resolver indeterminaciones en el cálculo de límites.

2.2. Plantea problemas de optimización relacionados con la geometría o con las ciencias experimentales y sociales, los resuelve e interpreta el resultado obtenido dentro del contexto.

 

 

vUNIDAD 4. Representación gráfica de funciones

 

Objetivos

 

·        Saber estudiar o analizar cualquier característica de una función dada por medio de su expresión analítica.

·        Representar funciones expresadas analíticamente.

·        Interpretar las gráficas de las funciones.

·        Valorar la utilidad de las gráficas como potentes herramientas que nos muestran sus propiedades.

 

Contenidos

 

§  Dominio y recorrido de una función

§  Puntos de corte con los ejes. Simetrías. Periodicidad

§  Asíntotas y ramas infinitas

§  Monotonía. Extremos relativos. Concavidad. Puntos de inflexión

§  Signo de la función. Regiones

§  Representación gráfica de funciones

§  Estudio de las características de la función a partir de su gráfica

 

Criterios de evaluación

 

1.      Estudiar y representar gráficamente funciones obteniendo información a partir de sus propiedades y extrayendo información sobre su comportamiento local o global. Valorar la utilización y representación gráfica de funciones en problemas generados en la vida cotidiana y usar los medios tecnológicos como herramienta para el estudio local y global, la representación de funciones y la interpretación de sus propiedades. CMCT, CD, CSC.

 

Estándares de aprendizaje evaluables

 

1.1  Conocer las características de las funciones que nos lleven a la representación más o menos exhaustiva de esta.

1.2  Utiliza los medios tecnológicos para representar funciones conocidas.

 

 

 

vUNIDAD 5. Integrales indefinidas

 

Objetivos

 

·        Comprender el concepto de primitiva de una función y su relación con la integral indefinida.

·        Calcular primitivas haciendo uso de la tabla de integrales inmediatas.

·        Utilizar métodos elementales de integración para calcular primitivas de funciones dadas.

·        Valorar la integral indefinida como potente herramienta en el cálculo infinitesimal.

 

Contenidos

 

§Primitiva de una función

§Integral indefinida. Propiedades

§Integrales inmediatas

§Técnicas elementales para el cálculo de primitivas. Métodos de integración

      Método de integración por cambio de variable

      Método de integración por partes

      Método de integración de funciones racionales

     

Criterios de evaluación:

 

1.      Calcular integrales de funciones sencillas aplicando las técnicas básicas para el cálculo de primitivas. CMCT.

 

Estándares de aprendizaje evaluables

 

1.1. Aplica los métodos básicos para el cálculo de primitivas de funciones.

1.2.Utiliza los medios tecnológicos para representar y resolver problemas de áreas de recintos limitados por funciones conocidas.

 

 

vUNIDAD 6. Integrales definidas. Aplicaciones

 

Objetivos

 

·        Conocer y aplicar el método exhaustivo en el cálculo de áreas de recintos planos.

·        Utilizar el concepto de integral definida para calcular áreas de recintos limitados por una o dos curvas.

·        Comprender los teoremas relativos al cálculo integral que relacionan éste con el cálculo diferencial.

·        Aplicar correctamente la regla de Barrow en el cálculo de integrales definidas.

·        Valorar la importancia del cálculo integral en el desarrollo de diversas ciencias.

 

Contenidos

 

§  Integral definida. Interpretación geométrica

§  Propiedades de la integral definida.

§  Teorema del valor medio

§  Teorema fundamental del cálculo integral.

§  Regla de Barrow

§  Aplicaciones. Áreas de recintos planos.

                        Área encerrada bajo una curva

                        Área encerrada por dos curvas

 

Criterios de evaluación

 

1. Aplicar el cálculo de integrales definidas para calcular áreas de regiones planas limitadas por rectas y curvas sencillas que sean fácilmente representables y, en general, a la resolución de problemas. CMCT, CAA.

 

Estándares de aprendizaje evaluables

 

1.1. Calcula el área de recintos limitados por rectas y curvas sencillas o por dos curvas.

1.2. Utiliza los medios tecnológicos para representar y resolver problemas de áreas de recintos limitados por funciones conocidas.

 

 

BLOQUE III Álgebra

 

vUNIDAD 6. Matrices y Determinantes

 

Objetivos

 

·        Interpretar un cuadro o tabla de números como una matriz, identificando elementos concretos de la misma.

·        Identificar y formular los tipos de matrices más usuales.

·        Operar correctamente con matrices.

·        Calcular la matriz inversa por procedimientos elementales.

·        Calcular el rango de una matriz por el método de Gauss.

·        Interpretar un determinante como un número asociado a una matriz cuadrada.

·        Desarrollar un determinante utilizando distintos métodos: regla de Sarrus, método de Gauss, método de los adjuntos.

·        Resolver determinantes mediante las propiedades de los mismos.

·        Calcular la matriz inversa de una dada mediante el uso de determinantes.

·        Hallar el rango de una matriz usando determinantes.

 

Contenidos

 

§  Matrices. Definición

§  Tipos de matrices

§  Operaciones con matrices

§  Trasposición de matrices. Propiedades

§  Matriz reducida. Transformaciones elementales en una matriz

§  Matriz inversa. Propiedades

·         Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss

·         Cálculo por definición

§  Rango de una matriz. Definición y cálculo

§  Las matrices en la vida real

• Definición general de determinante
• Determinantes de orden dos y tres. Regla de Sarrus
• Propiedades de los determi­nantes
• Menor complementario, adjunto y matriz adjunta
• Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea

• Aplicaciones de los determinantes al cálculo de la matriz inversa
• Rango de una matriz a partir de sus menores.

 

Criterios de evaluación

 

1. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices para describir e interpretar datos y relaciones en la resolución de problemas diversos. CMCT.

2. Transcribir problemas expresados en lenguaje usual al lenguaje algebraico y resolverlos utilizando técnicas algebraicas determinadas (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones), interpretando críticamente el significado de las soluciones. CCL, CMCT, CAA.

 

Estándares de aprendizaje evaluables

 

1.1. Utiliza el lenguaje matricial para representar datos facilitados mediante tablas o grafos y para representar sistemas de ecuaciones lineales, tanto de forma manual como con el apoyo de medios tecnológicos adecuados.

1.2. Realiza operaciones con matrices y aplica las propiedades de estas operaciones adecuadamente, de forma manual o con el apoyo de medios tecnológicos.

 2.1. Determina el rango de una matriz, hasta orden 4, aplicando el método de Gauss o determinantes.

2.2. Determina las condiciones para que una matriz tenga inversa y la calcula empleando el método más adecuado.

 

 

 

 

 

vUNIDAD 7. Sistemas de ecuaciones lineales

 

Objetivos

 

·        Transcribir situaciones como sistemas de ecuaciones lineales y resolverlas, cuando sea posible.

·        Aplicar el teorema de Rouché-Fröbenius al estudio de sistemas de ecuaciones lineales.

·        Utilizar los diferentes métodos de resolución de sistemas: Gauss, regla de Cramer, matricial.

·        Estudiar y resolver sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro.

·        Utilizar los conceptos de los sistemas de ecuaciones en casos sencillos de eliminación de parámetros.

           

Contenidos

 

§  Sistemas de ecuaciones linea­les.

§  Clases de sistemas de ecuaciones lineales

§  Expresiones de los sistemas de ecuaciones lineales

§  Sistemas de ecuaciones equivalentes.

§  Teorema de Rouché-Fröbenius.

§  Sistemas escalonados.

§  Métodos de resolución de sistemas.

Método de Gauss

Método matricial ó de la matriz inversa

Regla de Cramer

§  Sistemas homogéneos. Resolución

 

Criterios de evaluación

 

1. Transcribir problemas expresados en lenguaje usual al lenguaje algebraico y resolverlos utilizando técnicas algebraicas determinadas (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones), interpretando críticamente el significado de las soluciones

 

Estándares de aprendizaje evaluables

 

1.1. Resuelve problemas susceptibles de ser representados matricialmente e interpreta los resultados obtenidos.

1.2. Formula algebraicamente las restricciones indicadas en una situación de la vida real, estudia y clasifica el sistema de ecuaciones lineales planteado, lo resuelve en los casos que sea posible, y lo aplica para resolver problemas.

 

 

BLOQUE IV: Geometria

 

vUNIDAD 8. Vectores

 

Objetivos

 

·        Conocer y utilizar el concepto de vector.

·        Utilizar con soltura el cálculo de operaciones con vectores

·         Saber determinar si entre dos o más vectores existe o no una relación de dependencia.

·        Aplicar el cálculo vectorial a la resolución de problemas geométricos.

·        Interpretar geométricamente las cuestiones de dependencia en el espacio.

·        Ser capaces de establecer las diferencias existentes entre Base y sistema de Generadores.

·        Establecer las coordenadas de un vector en el espacio

·        Conocer y utilizar el producto escalar de vectores en el espacio.

·        Utilizar el producto escalar en el cálculo de módulos y ángulos entre elementos del espacio.

·        Conocer y utilizar los productos vectorial y mixto de vectores en el espacio.

·        Calcular áreas sencillas en el plano y volúmenes en el espacio.

·        Aplicar los productos vectorial y mixto entre vectores a problemas métricos en el espacio.

 

Contenidos 

 

§  Vector libre.

            Coordenadas de un punto

            Coordenadas de un vector

§  Operaciones con vectores libres

§  Combinación lineal. Dependencia e independencia de vectores. Bases.

§  Producto escalar de dos vectores libres

            Interpretación geométrica del producto escalar

            Expresión analítica del producto escalar

            Aplicaciones del producto escalar

            Perpendicularidad u ortogonalidad de vectores

            Ángulo que forman dos vectores.

§  Producto vectorial de dos vectores libres

Interpretación geométrica del producto vectorial

Expresión analítica del producto vectorial

Propiedades del producto vectorial

Aplicaciones del producto vectorial

§  Producto mixto de dos vectores libres

Interpretación geométrica del producto mixto

Expresión analítica del producto mixto

Aplicaciones del producto mixto

 

 

Criterios de evaluación

 

1. Resolver problemas geométricos espaciales, utilizando vectores.

 

Estándares de aprendizaje evaluables

 

1.1. Resolver problemas geométricos espaciales utilizando vectores. CMCT.

 

 

vUNIDAD 9. El espacio afín

 

Objetivos

 

·        Identificar los elementos que permiten determinar una recta y un plano en el espacio.

·        Conocer e interpretar las diversas formas que adoptan las ecuaciones de las rectas y los planos en el espacio.

·        Determinar las ecuaciones de rectas y planos a través de condiciones métricas dadas.

·        Aplicar los conceptos de álgebra lineal a los problemas de incidencia, paralelismo y perpendicularidad entre elementos del espacio.

·        Resolver problemas de incidencia entre puntos, rectas y planos en el espacio.

 

Contenidos 

 

§  Sistema de referencia en el espacio

§  Aplicaciones de los vectores a los problemas geométricos

            Coordenadas del vector que une dos puntos.

            Comprobación de que tres puntos están alineados

            Coordenadas del punto medio de un segmento

            Simétrico de un punto respecto de otro

§  Ecuaciones de la recta: Vectorial, paramétricas, continua e implícita

§  Ecuaciones del plano: Vectorial, paramétricas e implícita o general

            Incidencia entre punto y plano

            Ecuación de un plano conociendo el vector normal

            Plano determinado por tres puntos

§  Posiciones relativas de dos rectas

§  Posiciones relativas de una recta y un plano

§  Posiciones relativas de dos y tres planos

Posiciones de dos planos

Posiciones de tres planos

§  Haces de planos.

            Haz de planos paralelos.

            Haz de planos secantes o de eje r

Criterios de evaluación

 

1. Resolver problemas de incidencia, paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos utilizando las distintas ecuaciones de la recta y del plano en el espacio. CMCT.

 

Estándares de aprendizaje evaluables

 

1.1. Expresa la ecuación de la recta de sus distintas formas, pasando de una a otra correctamente, identificando en cada caso sus elementos característicos, y resolviendo los problemas afines entre rectas.

1.2. Obtiene la ecuación del plano en sus distintas formas, pasando de una a otra correctamente.

1.3. Analiza la posición relativa de planos y rectas en el espacio, aplicando métodos matriciales y algebraicos.

1.4. Obtiene las ecuaciones de rectas y planos en diferentes situaciones.

 

 

vUNIDAD 10. Espacio métrico

 

Objetivos

 

·        Resolver problemas sencillos de distancias entre los elementos del espacio..

·        Resolver problemas geométricos.

·        Analizar y calcular elementos simétricos.

·        Analizar y sistematizar los conocimientos espaciales.

 

 

 

Contenidos

 

§  Distancias entre puntos, rectas y planos en el espacio.

§  Ángulos entre elementos del espacio

      Ángulo entre dos rectas

      Ángulo entre dos planos

      Ángulo entre recta y plano

§  Algunos problemas geométricos.

            Proyección de un punto sobre una recta

            Proyección de un punto sobre un plano

            Proyección de una recta sobre un plano

§  Elementos simétricos

            Simétrico de un punto respecto de una recta

            Simétrico de un punto respecto de un plano

            Simétrico de una recta respecto de un plano

§  Rectas que se apoyan sobre dos rectas dadas: Perpendicular común

 

Criterios de evaluación

 

1. Utilizar los distintos productos para calcular ángulos, distancias, áreas y volúmenes, calculando su valor y teniendo en cuenta su significado geométrico. CMCT.

 

Estándares de aprendizaje evaluables

 

1.1. Maneja el producto escalar y vectorial de dos vectores, significado geométrico, expresión analítica y propiedades.

1.2. Conoce el producto mixto de tres vectores, su significado geométrico, su expresión analítica y propiedades.

1.3. Determina ángulos, distancias, áreas y volúmenes utilizando los productos escalar, vectorial y mixto, aplicándolos en cada caso a la resolución de problemas geométricos.

1.4. Realiza investigaciones utilizando programas informáticos específicos para seleccionar y estudiar situaciones nuevas de la geometría relativas a objetos como la esfera.

 

 

BLOQUE V: Probabilidad y Estadística

 

vUNIDAD 11. Probabilidad

 

Objetivos

 

·         Describir los resultados de los fenómenos y experimentos aleatorios.

• Utilizar técnicas y principios diversos de recuento para asignar probabilidades. Usar la regla de Laplace en casos sencillos.
• Diferenciar las situaciones correspondientes a sucesos independientes y dependientes.
• Calcular las probabilidades de sucesos equiprobables mediante la regla de Laplace.
• Calcular probabilidades haciendo uso de las principales propiedades que posee la probabilidad.
• Utilizar técnicas y principios diversos de recuento para asignar probabilidades condicionadas. Usar la definición para el cálculo de probabilidades condicionadas de casos sencillos.
• Calcular las probabilidades condicionadas, organizando la información en tablas de contingencia y diagramas de árbol.
• Diferenciar las situaciones correspondientes a sucesos independientes y dependientes.
• Calcular probabilidades haciendo uso de la propiedad de la probabilidad total.
• Calcular probabilidades utilizando el teorema de Bayes en casos sencillos.

 

Contenidos

 

§  Sucesos.

§  Asignación de probabilidades a sucesos mediante la regla de Laplace y a partir de su frecuencia relativa.

§  Axiomática de Kolmogorov.

§  Aplicación de la combinatoria al cálculo de probabilidades.

§  Experimentos simples y compuestos.

§  Probabilidad condicionada.

§  Dependencia e independencia de sucesos.

§  Teoremas de la probabilidad total y de Bayes.

§  Probabilidades iniciales y finales y verosimilitud de un suceso.

 

Criterios de Evaluación

 

1. Asignar probabilidades a sucesos aleatorios en experimentos simples y compuestos (utilizando la regla de Laplace en combinación con diferentes técnicas de recuento y la axiomática de la probabilidad), así como a sucesos aleatorios condicionados (Teorema de Bayes), en contextos relacionados con el mundo real. CMCT, CSC.

2. Identificar los fenómenos que pueden modelizarse mediante las distribuciones de probabilidad

binomial y normal calculando sus parámetros y determinando la probabilidad de diferentes sucesos asociados. CMCT.

 

Estándares de aprendizaje evaluables

 

1.1. Calcula la probabilidad de sucesos en experimentos simples y compuestos mediante la regla de Laplace, las fórmulas derivadas de la axiomática de Kolmogorov y diferentes técnicas de recuento.

1.2. Calcula probabilidades a partir de los sucesos que constituyen una partición del espacio muestral.

1.3. Calcula la probabilidad final de un suceso aplicando la fórmula de Bayes.

2.1. Identifica fenómenos que pueden modelizarse mediante la distribución binomial, obtiene sus parámetros y calcula su media y desviación típica.

2.2. Calcula probabilidades asociadas a una distribución binomial a partir de su función de probabilidad, de la tabla de la distribución o mediante calculadora, hoja de cálculo u otra herramienta tecnológica.

2.3. Conoce las características y los parámetros de la distribución normal y valora su importancia en el mundo científico.

2.4. Calcula probabilidades de sucesos asociados a fenómenos que pueden modelizarse mediante la distribución normal a partir de la tabla de la distribución o mediante calculadora, hoja de cálculo u otra herramienta tecnológica.

2.5. Calcula probabilidades de sucesos asociados a fenómenos que pueden modelizarse mediante la distribución binomial a partir de su aproximación por la normal valorando si se dan las condiciones necesarias para que sea válida.

 

 

  

vUNIDAD 12. Inferencia Estadística

 

Objetivos

 

·    Distinguir entre población y muestra.

·    Estudiar la representatividad y el tamaño de una muestra.

·    Aproximarse al concepto de inferencia estadística.

·    Realizar alguna estimación de los parámetros más sencillos y usuales.

 

Contenidos

 

§  Variables aleatorias discretas.  

§  Distribución de probabilidad.

§  Media, varianza y desviación típica.

§  Distribución binomial.

§  Caracterización e identificación del modelo.

§  Cálculo de probabilidades.

§  Distribución normal.

§  Tipificación de la distribución normal.

§  Asignación de probabilidades en una distribución normal.

§  Cálculo de probabilidades mediante la aproximación de la distribución binomial por la normal.

 

Criterios de evaluación

 

1. Utilizar el vocabulario adecuado para la descripción de situaciones relacionadas con el azar y la estadística, analizando un conjunto de datos o interpretando de forma crítica informaciones estadísticas presentes en los medios de comunicación, en especial los relacionados con las ciencias y otros ámbitos, detectando posibles errores y manipulaciones tanto en la presentación de los datos como de las conclusiones.

 

Estándares de aprendizaje evaluables

 

1.1. Utiliza un vocabulario adecuado para describir situaciones relacionadas con el azar.

 

 

 

Criterios de Evaluación Matemáticas II

 

De acuerdo a lo establecido en el Real Decreto 1467/2007, de 2 de noviembre, los criterios de evaluación son:

 

1.   Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices y determinantes como instrumento para representar e interpretar datos y relaciones y, en general, para resolver situaciones diversas.

2.   Transcribir situaciones de la geometría a un lenguaje vectorial en tres dimensiones y utilizar las operaciones con vectores para resolver los problemas extraídos de ellas, dando una interpretación de las soluciones.

3.  Transcribir problemas reales a un lenguaje grafico o algebraico, utilizar conceptos, propiedades y técnicas matemáticas especificas en cada caso para resolverlos y dar una interpretación de las soluciones obtenidas ajustada al contexto.

4.  Utilizar los conceptos, propiedades y procedimientos adecuados para encontrar e interpretar características destacadas de funciones expresadas algebraicamente en forma explícita.

5.    plicar el concepto y el cálculo de límites y derivadas al estudio de fenómenos naturales y tecnológicos y a la resolución de problemas de optimización.

6.    Aplicar el cálculo de integrales en la medida de áreas de regiones planas limitadas por rectas y curvas sencillas que sean fácilmente representables.

 7. Realizar investigaciones en las que haya que organizar y codificar informaciones, seleccionar, comparar y        valorar estrategias para enfrentarse a situaciones nuevas con eficacia, eligiendo las herramientas matemáticas    adecuadas en cada caso.

 

 

Criterios de  calificación Matemáticas II 

 

1.  El  departamento considera que es positivo para el alumno no eliminar materia de un examen a otro, de este modo tendrá un conocimiento más amplio de lo estudiado anteriormente. Pretendemos acostumbrar al alumno al trabajo diario, puesto que deberá realizar numerosas pruebas en intervalos de tiempo cortos con la finalidad de que el desnivel entre dos pruebas consecutivas sea mínimo. Todo ello facilitaría que, a medida que se avanza en la adquisición de conocimientos, se repase toda la materia impartida hasta ese momento.

     2. Teniendo en cuenta que cada prueba consecutiva incluye más contenidos, obviamente su calificación pesará más que las anteriores.

     3. No consideramos positivo para el alumno realizar parciales eliminatorios ni las correspondientes recuperaciones en el caso de no superar la materia. Son la constancia y la exigencia continua los parámetros más justos para valorar el esfuerzo y conocimientos del alumno reduciendo, por tanto, el factor suerte. Así, cada alumno conocerá, en cualquier momento su nota global, y será reforzado y orientado sobre aquellos aspectos en los que presente más carencias.

  4. La nota en cada momento del curso, vendrá dada por todos los exámenes realizados, pesando más, académicamente, los últimos que los primeros. La nota de los exámenes (conceptos + procedimientos) será el resultado de multiplicar cada control por el número de orden de los mismos, sumándose los resultados obtenidos y dividiéndolos por la suma de todos los números de orden. De esta manera, si llamamos a la nota del primer examen a,  a la del segundo b, a la del tercero c y a la del enésimo z, la nota de los exámenes se calcularía de la siguiente forma:

 

                N= (a+2b+3c+..........................+nz) / (1+2+3+.........+n) 

 

   5. En la resolución de los problemas y ejercicios de las pruebas escritas exigiremos una explicación de los procedimientos utilizados, ya que lo consideramos muy importante. Resolver un problema o ejercicio no consiste únicamente en aplicar una sucesión de fórmulas y números.

      6. La calificación positiva de estos exámenes, no supondrá, en ningún caso, la eliminación de la materia.

     7. Para poder calificar los exámenes, los ejercicios de cada una de las partes de las que conste la prueba, deberá demostrar un mínimo de conocimientos básicos de la materia.

      8. El último examen de toda la materia impartida.

      9. La nota de los contenidos tendrán un peso 9 y la de la actitud  un peso 1

     10.  Para evitar que el alumnado falte a clase sistemática e injustificadamente en esta materia se determina que por cada una de estas faltas se reste al total de la puntuación obtenida en actitud en una determinada evaluación 0.1puntos

     11.  Las calificaciones para la obtención de la nota final se asignarán teniendo en cuenta la trayectoria del alumno a lo largo del curso.

    12.  El alumno que no apruebe la asignatura en Junio deberá examinarse en Septiembre de todo el temario impartido, independientemente de los resultados que haya obtenido a lo largo del curso. El hecho de aprobar un examen o un trimestre no elimina dicha materia